2. -2-
Transformaciones Lineales
Definición: Sean V y W dos espacios vectoriales. Sea T : V → W una función que asigna a todo
vector v ∈ V un único vector w = T (v) ∈ W . Se dice que T es una transformación lineal si:
1. ∀v, w ∈ V T (v + w) = T (v) + T ( w)
2. ∀α ∈ R ∀v ∈ V T (αv) = αT (v)
Teorema 1
Sea T : V → W una transformación lineal. Entonces:
1. T (OV ) = OW
2. ∀v ∈ V T (v ' ) = [T (v)] '
3. T (α 1v1 + α 2 v 2 + α 3 v3 + ... + α n v n ) = α 1T (v1 ) + α 2T (v 2 ) + α 3T (v3 ) + ... + α nT (v n )
Núcleo de una Transformación Lineal
Definición: Sea T : V → W una transformación lineal. El núcleo de T , denotado por Nu (T ) , se
define como:
Nu (T ) = { v ∈ V / T (v) = OW }
Recorrido de una Transformación Lineal
Definición: Sea T : V → W una transformación lineal. El recorrido o imagen de T , denotado por
Re(T ) , se define como:
Re(T ) = { w ∈ W / T (v) = w; v ∈ V }
Teorema 2
Sea T : V → W una transformación lineal. Entonces se cumple que:
1. El núcleo de T es un subespacio de V
2. El recorrido de T es un subespacio de W
Nulidad y Rango de una Transformación Lineal
Definición: Sea T : V → W una transformación lineal. La nulidad de T , denotada por v(T ) , se
define como:
v(T ) = dim Nu (T )
El rango de T , denotado por ρ (T ) , se define como:
ρ (T ) = dim Re(T )
Ramiro J. Saltos

3. -3-
Teorema de la Dimensión
Sea T : V → W una transformación lineal donde V es un espacio vectorial de dimensión finita.
Entonces se cumple que:
v (T ) + ρ (T ) = dim V
Transformación Lineal Inyectiva
Definición: Sea T : V → W una transformación lineal. Se dice que T es inyectiva si:
∀v, w ∈ V {[T (v) = T ( w)] ⇒ (v = w)}
Transformación Lineal Sobreyectiva
Definición: Sea T : V → W una transformación lineal. Se dice que T es sobreyectiva si todo vector
de W es la imagen de por lo menos un vector de V . Es decir:
∀w ∈ W ∃v ∈ V w = T (v)
Dicho de otra manera, T es sobreyectiva si Re(T ) = W
Teorema 3
Una transformación lineal T : V → W es inyectiva, si y sólo si, Nu (T ) = { OV }
Isomorfismo
Definición: Sea T : V → W una transformación lineal. Se dice que T es un isomorfismo si T es
inyectiva y T es sobreyectiva. Es decir, T es un isomorfismo si T es biyectiva.
Espacios Vectoriales Isomorfos
Definición: Sean V y W dos espacios vectoriales. Se dice que V y W son espacios vectoriales
isomorfos, denotado por V ≅ W , si existe un isomorfismo T : V → W entre ellos.
Teorema 4
Sea T : V → W una transformación lineal definida entre espacios vectoriales de dimensión finita,
tales que dim V = dim W , entonces:
1. Si T es inyectiva, T es sobreyectiva.
2. Si T es sobreyectiva, T es inyectiva.
Teorema 5
Sean V y W dos espacios vectoriales de dimensión finita. Sea T : V → W una transformación
lineal. Entonces:
1. Si dim V > dim W , T no es inyectiva.
2. Si dim V < dim W , T no es sobreyectiva.
Lo que quiere decir, que si dim V ≠ dim W , T no es un isomorfismo
Teorema 6
Ramiro J. Saltos

4. -4-
Sea T : V → W una transformación lineal, se cumple que:
1. Si T es inyectiva y S = { v1 , v 2 , v3 ,..., v n } es linealmente independiente en V , entonces
S ' = {T (v1 ), T (v 2 ), T (v3 ),..., T (v n )} es linealmente independiente en W
2. Si T es sobreyectiva y G = { v1 , v2 , v3 ,..., v n } genera a V , entonces
G ' = {T (v1 ), T (v 2 ), T (v3 ),..., T (v n )} genera a W
3. Si T es un isomorfismo y B = { v1 , v 2 , v3 ,..., v n } es una base de V , entonces
B ' = {T (v1 ), T (v 2 ), T (v3 ),..., T (v n )} es una base de W
Operaciones con Transformaciones Lineales
Suma: Sean T1 : V → W y T2 : V → W dos transformaciones lineales. La suma entre T1 y T2 ,
denotada por T1 + T2 : V → W , se define como:
∀v ∈ V (T1 + T2 )(v) = T1 (v ) + T2 (v)
Multiplicación por escalar: Sea α ∈ R . Sea T : V → W una transformación lineal. Se define la
multiplicación de α por T , denotada por αT : V → W como:
∀v ∈ V (αT )(v) = αT (v )
Composición: Sean T1 : V → U y T2 : U → W dos transformaciones lineales. La composición entre
T1 y T2 , denotada por T2  T1 : V → W , se define como:
∀v ∈ V (T2  T1 )(v) = T2 (T1 (v ))
Transformación Lineal Inversa
Definición: Sea T : V → W una transformación lineal. Se dice que T es invertible si existe una
transformación lineal S : W → V , tal que:
1. T  S : W → W = IdW
2. S  T : V → V = IdV
Si tal es el caso, se llama a S la inversa de T y se denota S = T −1
Teorema 7
La transformación lineal T : V → W es invertible, si y sólo si, T es un isomorfismo.
Representación Matricial de una Transformación Lineal
Teorema: Sea T : V → W una transformación lineal donde V y W son espacios vectoriales de
dimensión finita. Supóngase que dimV = n y dim W = m . Sean B1 = { v1 , v 2 , v3 ,..., v n } y
B2 = { w1 , w2 , w3 ,..., wm } dos bases de V y W respectivamente.
La representación matricial de T respecto de las bases B1 y B2 respectivamente está dada por:
Ramiro J. Saltos

5. -5-
 ↑ ↑ ↑  ↑ 
 
AT =  [T (v1 )] B 2 [ T (v 2 ) ] B 2 [T (v3 ) ] B 2  [T (v n )] B 2 
 ↓ ↓ ↓  ↓ 
  mxn
Teorema 8
Sea T : V → W una transformación lineal donde V y W son espacios vectoriales de dimensión
finita. Sea AT la representación matricial de T respecto a las bases B1 y B2 de V y W
respectivamente. Entonces:
∀v ∈ V [T (v)] B 2 = AT [ v] B1
Teorema 9
Sea T : V → W una transformación lineal donde V y W son espacios vectoriales de dimensión
finita. Sea AT la representación matricial de T respecto a las bases B1 y B2 de V y W
respectivamente. T es un isomorfismo si y sólo si det( AT ) ≠ 0
Tema 1
Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas. Justifique formalmente su
respuesta.
1  4  3 1
a) Existe una transformación lineal T : R 2 → R 2 tal que T   =   y T   =  
1  6   3  0  (Falso)
       
1
Sea α = 3 y v =  
1
 
αT (v ) = T (αv)
1  1
3T   = T 3 
1  
   1
 4  3
3  = T  
6  3
   
12   1 
 = 
18   0 
   
a a + b
b) La función T : R 2 → R 2 definida por T   = 
 b   1  es una transformación lineal (Falso)

   
1) T (v + w) = T (v) + T ( w)
a  a 
Sea v =  1  y w =  2  ∈ R 2
b  b 
 1  2
Ramiro J. Saltos

6. -6-
 a   a  a  a 
T  1  +  2  = T  1  + T  2 
    b  b 
 b1   b2   1  2
 a + a 2   a1 + b1   a 2 + b2 
T 1
b +b  =  1 + 1 
    
 1 2     
 a1 + a 2 + b1 + b2   a1 + a 2 + b1 + b2 

 =
  

 1   2 
Contraejemplo
1  2
Sea v =   y w =   ∈ R 2
1  2
   
 3
v+w=  3
 
 3 1  2
T  = T  + T 
 3 1  2
     
6  2  4
  = + 
1 1 1
     
6  6
 = 
1  2
   
x+ y
a  
c) El operador T : R → R definido por T   =  x −
2 3
b y  es lineal (Verdadero)
   x 
 
1) ∀v, w ∈ V T (v + w) = T (v) + T ( w)
a  a 
Sean v =  1  y w =  2  ∈ R 2
b  b 
 1  2
 a + a2  a  a 
T 1
b +b   = T 1  + T 2 
b  b 
 1 2   1  2
(a1 + a 2 ) + (b1 + b2 )  a1 + b1   a 2 + b2 
(a + a ) − (b + b )  =  a − b  +  a − b 
 1 2 1 2   1 1  2 2
 a1 + a 2  a   a 
  1  
  2 
 a1 + a 2 + b1 + b2   a1 + a 2 + b1 + b2 
   
 a 1 + a 2 − b1 − b2  =  a 1 + a 2 − b1 − b2 
 a1 + a 2   a1 + a 2 
   
2) ∀α ∈ R ∀v ∈ V T (αv) = αT (v)
a
Sea v =   ∈ R 2 . Sea α ∈ R
b
 
Ramiro J. Saltos

7. -7-
 αa  a
T   = αT  
 αb  b
   
 αa + αb  a + b
   
 αa − αb  = α  a − b 
 αa   a 
   
a + b a + b
   
αa − b = αa − b
 a   a 
   
 1 1 3
 
d) Si T : V → W es una transformación lineal tal que AT =  0 3 2  es la representación
2 0 1
 
matricial de T respecto a las bases B1 y B2 , entonces T es un isomorfismo (Verdadero)
Para saber si T es un isomorfismo bastará con calcular el determinante de la matriz asociada a T
3 2 1 3 1 3
det( AT ) = 1 −0 +2
0 1 0 1 3 2
det( AT ) = 3 + 2(2 − 9)
det( AT ) = 3 − 14
det( AT ) = −11
3  − 1
e) Sea T : R 2 → P2 una transformación lineal. Si T   = 4 + x y T   = −3 + 2 x , entonces
2
 − 1 2
   
 − 5
T   = −10 + 4 x − x 2 (Verdadero)
 5 
 
Sabemos que:
 3   − 1
 ,   es una base de R 2 , es decir, que todo vector de R 2 se puede escribir como
  
 − 1  2 
combinación lineal de los vectores de esta base.
a
Sea   ∈ R 2
b
 
a 3  − 1  3α 1 − α 2 
  = α1   + α 2   = 
b  − 1  2   − α + 2α  
       1 2
Para hallar la regla de correspondencia de T debemos expresar los escalares en términos de a y b .
Planteamos la matriz y simplificamos por Gauss
1 − 2 −b 
 3 − 1 a   − 1 2 b  A12 (3)  1 − 2
  P12   
−b 
M 2 1 
 − 1 2 b   3 − 1 a  M (−1)  0 5 a + 3b  5 0 1
( ) a + 3b  A21 (2)

    1    5 
Ramiro J. Saltos

8. -8-
 2a + b  2a + b
1 0  α1 =
 5  ⇒ 5
0 1 a + 3b  a + 3b
  α2 =
 5  5
Ahora volvemos a escribir la combinación lineal y aplicamos transformación lineal en ambos lados
de la ecuación
a 3  − 1
  = α1   + α 2  
b  − 1 2
     
a  3  − 1
T   = T α 1   + α 2  
b  − 1 2
      
Aplicamos las propiedades de las transformaciones lineales
a 3  − 1
T   = α 1T   + α 2T  
b  − 1 2
     
Reemplazamos los escalares por las igualdades arriba encontradas y las transformaciones de los
vectores de la base con los datos del problema.
 a   2a + b  2  a + 3b 
T  = 
b ( x + 4 ) +  ( 2 x − 3)
   5   5 
Simplificando nos queda:
 a   2a + b  2  2a + 6b   5a − 5b 
T  = 
b x +  x +  
   5   5   5 
Y finalmente
 − 5   − 10 + 5  2  − 10 + 30   − 25 − 25 
T  = 
 5  x +  x +  
   5   5   5 
 − 5
T   = − x 2 + 4 x − 10
 5 
 
f) Sea T : P2 → S 2 x 2 una transformación lineal con regla de correspondencia:
 2c a + b − c
T (a + bx + cx 2 ) = 
a + b − c 
 c−b  
−1  4 − 2
Entonces, T es un isomorfismo y T   − 2 3  = 1 − x + 2 x (Verdadero)
2

 
Para saber si T es invertible debemos hallar la matriz asociada a T y calcular su determinante,
como no nos dan ninguna base nosotros usamos las bases canónicas.
 1 0   0 1   0 0 
Sean P = {1, x, x 2 } y M = 
 0 0 ,  1 0 ,  0 1  las bases canónicas de P2 y S 2 x 2
  
   
respectivamente.
Ramiro J. Saltos

9. -9-
 0
0 1 1 0 0 1 0 0  
T (1) =   = (0)
1 0  + (1)
 0 0  + (0)
1 0 0 1
 ⇒ [T (1)] M = 1
         0
 
0
0 1  1 0 0 1 0 0  
T (x) =   = (0)
 1 − 1  + (1)
 0 0  + (−1)
1 0 0 1
 ⇒ [T ( x )] M =  1 
         − 1
 
2
 2 − 1  
T (x2 ) = 
 −1 1 
1 0
 = (2)
 0 0
0 1
 + (−1)
0 0
 + (1)
1 0 0 1
 [ ]
⇒ T ( x ) M =  − 1
2
        1
 
0 0 2
  0 2
→ AT =  1 1 − 1 det( AT ) = −1 = −2 det( AT ) ≠ 0
0 −1 1  −1 1
 
∴ T es un isomorfismo y es invertible
Sabemos que si T es invertible entonces T (v) = w ∧ T −1 ( w) = v
 2(2) 1 + (−1) − 2 
T (1 − x + 2 x 2 ) = 
1 − 1 − 2 
 2 +1  
 4 − 2
T (1 − x + 2 x 2 ) = 
− 2 3 
 
Tema 2
Sea T : R 3 → R 2 una transformación lineal definida por:
a
   2a − b 
Tb = 
 c+b 
c  
 
a) Muestre que T es lineal
 1   0   1 
     
b) Encuentre la representación matricial de T respecto a las bases B1 =  1 ,  1 ,  0 
 0   0   1 
     
 1   0 
y B2 = 
 ,  
 
 − 1  1 
a) Para determinar si T es lineal debemos ver si se cumplen los dos axiomas de las
transformaciones lineales.
1) ∀v, w ∈ V T (v + w) = T (v) + T ( w)
Ramiro J. Saltos

10. - 10 -
a d 
   
Sea v =  b  y w =  e  ∈ R 3
c f
   
 a   d  a d 
       
T  b  +  e  = T  b  + T  e 
 c   f 
   
c
 
f
 
a + d 
   2 a − b   2d − e 
T b + e  =   +
  

c + f   c + b   f + e 
 
 2( a + d ) − (b + e)   2a − b + 2d − e 

 c+ f +b+e  = c+b+ f +e 
  
   
 2a + 2d − b − e   2a + 2d − b − e 

 c+b+e+ f  = c+b+e+ f 
  
   
Y como vemos se cumple el primer criterio de linealidad
2) ∀α ∈ R ∀v ∈ V T (αv) = αT (v)
a
 
Sea α ∈ R . Sea v =  b  ∈ R 3
c
 
  a  a
    
T α  b  = αT  b 
  c 
  
c
 
 αa 
   2a − b 
T  αb  = α 
 c+b  
 αc   
 
 2αa − αb   2αa − αb 

 αc + αb  =  αc + αb 
  
   
Se cumple el segundo criterio de linealidad.
∴ T es una transformación lineal
Ramiro J. Saltos

11. - 11 -
b) Por teorema sabemos que:
 ↑ ↑ ↑ 
 
  1   0   1  
     
AT =   1   1   0 

 
  0  B 2
   0 
  B2
 1 
 B2

 
 ↓ ↓ ↓ 
Escribiremos el sistema de ecuaciones de manera general para luego solo reemplazarlo en cada
vector
1  0   α1 
T (v ) = α 1   + α 2   = 
 − 1 1  − α + α 

     1 2
También realizamos las transformaciones de los tres vectores de la base
1 0 1
  1    − 1    2
T1 =  
  T1 =  
  T 0 =  
 
 0  1 0  1  1 1
     
Igualamos las ecuaciones y encontramos los vectores coordenadas
  1 
 α1 = 1    1
 ⇒ T  1  =  
 2
− α 1 + α 2 = 1 → α 2 = 2   0   
   B 2
  0 
 α 1 = −1     − 1
 ⇒ T  1  =  
0
− α 1 + α 2 = 1 → α 2 = 0   0   
   B2
  1 
 α1 = 2     2
 ⇒ T  0  =  
 3
− α 1 + α 2 = 1 → α 2 = 3   1   
   B 2
Y finalmente reemplazamos los vectores coordenadas en las columnas de la matriz y
1 −1 2
∴ AT = 
 2 0 3

 
Ramiro J. Saltos

12. - 12 -
Tema 3
Sea T : R 2 → R 2 la función que transforma cada punto del plano en su simétrico respecto
del eje y . Encontrar la regla de correspondencia de T y demuestre que es una
transformación lineal.
Determinar la regla de correspondencia de T es sencillo ya que el punto simétrico en el plano
respecto al eje y es el mismo punto pero con la coordenada en x cambiada de signo. Entonces:
 x − x
T  =  
 y  y 
   
Ahora hay que averiguar si se cumplen los criterios de linealidad.
1) ∀v, w ∈ V T (v + w) = T (v) + T ( w)
a c
Sea v =   y w =   ∈ R 2
b d 
   
 a   c  a c
T   +   = T   + T  
    b d 
 b   d     
 a + c  − a − c
Tb + d  =  b  +  d 
    
     
− a − c − a − c

 b+d = b+d 
  
   
Se cumple el primer criterio de linealidad
2) ∀α ∈ R ∀v ∈ V T (αv) = αT (v)
 x
Sea α ∈ R . Sea v =   ∈ R 2
 y
 
  x   x
T α   = αT  
 y  y
    
 αx  − x
T  = α 
 αy   y 
   
 − αx   − αx 

 αy  =  αy 
  
   
Se cumple el segundo criterio de linealidad
∴ T es una transformación lineal
Ramiro J. Saltos

13. - 13 -
Tema 4
Determine el rango y la nulidad de la siguiente transformación lineal
 a 
a  
T  = a + b
b
   b 
 
a) Por definición sabemos que:
Nu (T ) = { v ∈ V / T (v) = OW }
Aplicando la definición al problema nos queda:
  0 
 a   a   
Nu (T ) =   ∈ R / T   =  0 
 
2
b
 b     0 
  
Entonces para hallar el núcleo de la transformación lineal igualamos la regla de correspondencia
de la misma con el vector nulo de R 3
 a=0

a + b = 0
 b=0

De donde concluimos que:
 0 
Nu (T ) =  
  v(T ) = 0
 0 
b) Para el recorrido sabemos que:
Re(T ) = { w ∈ W / T (v) = w; v ∈ V }
Y aplicada al problema nos queda:
 x   x 
   a   
Re(T ) =  y  ∈ R / T   =  y 
3
b
 z     z 
   
Para hallar el recorrido igualamos la regla de correspondencia con el vector típico de la imagen,
luego planteamos la matriz aumentada y simplificamos hasta obtener la mayor cantidad de filas
llenas de ceros.
 a=x 1 0 x 1 0 x  1 0 x 
       y−x−z =0
a + b = y 1 1 y  A21 (−1) 0 1 y − x  A32 ( −1) 0 0 y − x − z
 b=z 0 1 y = x+z
  z
0 1
 z  
0 1
 z 

 x  x  1  0  1   0 
           
 y =  x + z = x 1  + z  1  BRe(T ) =  1 ,  1  ρ (T ) = 2
z  z  0 1  0   1 
           
Ramiro J. Saltos

14. - 14 -
Tema 5
Dada la aplicación lineal T : R → M 2 x 2 definida por:
3
a
  a − b b 
Tb = 
 b 
c  b − c

 
a) Halle la representación matricial de T respecto a las bases canónicas.
b) Encuentre Ker (T ), Im(T ),ν (T ), ρ (T )
a) Para hallar la representación matricial de T debemos encontrar los vectores coordenadas de las
transformaciones de los vectores de la base del espacio de partida.
1
1   1   
   1 0 1 0 0 1  0 0  0 0     0 
T 0 = 
 0 0  = (1) 0 0  + (0) 0 0  + (0) 1 0  + (0) 0 1 
         ⇒ T  0  =  
0           0
    0   
    0 
 
 − 1
0   0   
   − 1 1 1 0 0 1 0 0  0 0     1 
T1 = 
 1 1 = ( −1) 0 0  + (1) 0 0  + (1) 1 0  + (1) 0 1 
         ⇒ T  1  =  
0           1
    0   
    1 
 
0
0   0   
  0 0  1 0 0 1  0 0 0 0     0 
T 0 = 
 0 − 1 = (0) 0 0  + (0) 0 0  + (0) 1 0  + (−1) 0 1 
         ⇒ T  0  =  
1           0
    1   
    − 1
 
Estos vectores coordenadas representan las columnas de la matriz asociada a T , por que
procedemos a formar dicha matriz
1 −1 0 
 
0 1 0
AT = 
0 1 0
 
 0 1 − 1
 
b)
 a  a 
     0 0 
• Nu (T ) =  b  ∈ R 3 / T  b  = 
 

 c   c   0 0 
    
Aplicamos el procedimiento ya visto en ejercicios anteriores de igualar la regla de correspondencia
con el vector nulo del espacio de llegada.
a − b = 0 → a = 0
 b=0


 b=0
b − c = 0 → c = 0

Ramiro J. Saltos

15. - 15 -
De donde obtenemos que:
 0 
 
Nu (T ) =  0  ∴ v(T ) = 0
 0 
 
 a 
 w x     w x 
• Im(T ) = 
  ∈ M 2 x2 / T  b  = 
  

 y z   c   y z 
   
Para hallar el recorrido igualamos la regla de correspondencia con el vector típico de la imagen,
planteamos el sistema de ecuaciones y simplificamos por Gauss hasta obtener la mayor cantidad de
filas posibles llenas de ceros
a − b = w 1 −1 0 w 1 −1 0 w 
 b=x    
 0 1 0 x 0 1 0 x  y−x=0
 0 1 A23 (−1)
 b= y 0 y 0 0 0 y − x x= y
   
b − c = z 0 1 −1 z 0 1 −1 z 
    
Ahora reemplazamos esta condición en el vector característico y extraemos la base
w x w x 1 0  0 1  0 0

 y z  =  x z  = w 0 0  + x 1 0  + z  0 1 
        
         
 1 0   0 1   0 0 
BRe(T ) = 
 0 0 ,  1 0 ,  0 1 
   ∴ ρ (T ) = 3
   
Si revisamos el teorema de la dimensión
v (T ) + ρ (T ) = dim V
0+3=3
3=3
Tema 6
Sea T :P 2 → M 2 x 2 una aplicación definida por:
 1 − 1 c b 
T ( ax 2 + bx + c ) =  2 1  a c 
 
  
a) Obtenga Ker (T ), Im(T ),ν (T ), ρ (T )
b) Hallar la matriz asociada a T con respecto a las bases
B1 = { x − 1, x + 1, x 2 − 1}
1 1 1 1   1 1   1 − 1
B2 = 
 , 
 , 
 , 
 

1 1 1 0   0 0   0 0 
Ramiro J. Saltos

16. - 16 -
Antes de desarrollar el ejercicio primero debemos trabajar un poco con la regla de correspondencia
de la transformación lineal y dejarla simplificada. Para ello realizamos la multiplicación:
 1 − 1 c b   c − a b − c 

 2 1  a c  =  2c + a 2b + c 
   
    
 c−a b−c 
∴ T ( ax 2 + bx + c ) = 
 2c + a 2b + c 

 
a)
  0 0 
• Nu (T ) = ax + bx + c ∈ P2 / T ( ax + bx + c ) =  0 0 
2 2
 
  
Como ya sabemos hay que igualar la regla de correspondencia de la transformación con el vector
nulo del espacio de llegada y planteamos el sistema de ecuaciones
 c−a =0→c = a
 b−c = 0→b = c

 ⇒a=b=c=0
2c + a = 0 → 2c + c = 0 → c = 0

 2b + c = 0
De donde obtenemos que:
Nu (T ) = {0 x 2 + 0 x + 0} v(T ) = 0
 w x   w x 
• Re(T ) =  y z  ∈ M 2 x 2 / T ( ax + bx + c ) =  y z 
2
   
   
Realizamos el mismo procedimiento visto en ejercicios anteriores, por tanto igualamos la regla de
correspondencia con el vector típico de la imagen, planteamos el sistema de ecuaciones y
simplificamos por Gauss.
c−a = w −1 0 1 w  −1 0 1 w  −1 0 1 w 
 b−c = x      
 0 1 −1 x  0 1 −1 x  0 1 −1 x 
 1 A13 (1) A24 (−2) A43 (−1)
2c + a = y 0 2 y 0 0 3 y + w 0 0 3 y+w
     
 2b + c = z 0 2 1 z  0 2 1 z  0 0 3 z − 2x 
    
−1 0 1 w 
 
0 1 −1 x  y + w + 2x − z = 0
0 0 0 y + w + 2x − z  z = y + w + 2x
 
0 0 3 z − 2x 
 
Ramiro J. Saltos

17. - 17 -
Reemplazamos la condición en el vector típico
w x w x  1 0  0 1 0 0

 y z =  y
   = w
  0 1  + x 0 2  +
   y
1 1

   y + w + 2x       
 1 0   0 1   0 0 
BRe(T ) = 
 , 
 , 
 
 ρ (T ) = 3
 0 1   0 2   1 1 
b) Para hallar la representación matricial primero debemos encontrar las transformaciones de los
vectores de la base del espacio de partida, y a dichas transformaciones calcular sus vectores
coordenadas respecto a la base del espacio de llegada y finalmente reemplazar dichas coordenadas
en las columnas de la matriz buscada.
 −1 2  1 0 − 2 1 
T (x − 1) = 
− 2 1
 T (x + 1) = 
 2 3
 T ( x 2 − 1) = 
 − 1 − 1

     
 ↑ ↑ ↑ 
 
  − 1 2   1 0   − 2 1  
AT =  
 
 
 
 
  

  − 2 1  B 2  2 3  B 2  − 1 − 1 B 2 
 ↓ ↓ ↓ 
 
Encontramos una combinación lineal general
1 1 1 1  1 1  1 − 1  α 1 + α 2 + α 3 + α 4 α1 + α 2 + α 3 − α 4 
T (v ) = α 1   +α2
1 1  + α3
1 0   +α4
 0 0 0 0  = 
  

         α1 + α 2 α1 
 − 1 2 
•  − 2 1 
 
  B 2
α 1 + α 2 + α 3 + α 4 = −1 → α 3 + α 4 = 1  1 
 
α + α + α − α = 2 → α − α = 4  −3 
 1

2 3 4 3 4
∴ [T ( x − 1)] B 2 = 5 
 α 1 + α 2 = −2 → α 2 = −3  2 

 α1 = 1 − 3 
 2
5
1 0 5  α3 =
1 1 1 

 1 1 1
 A12 (−1)
1 − 1 4   0 − 2 3 ( )
M 2 − 1 
1 1 1 
 A21 (−1)
2 0 1 − 3 
2 
0 1 − 3 
⇒ 2
−3
     2  2 α4 =
2
Ramiro J. Saltos

18. - 18 -
 1 0 
•  2 3 
 
  B 2
 α 1 + α 2 + α 3 + α 4 = 1 → α 3 + α 4 = −1  3 
 
α + α + α − α = 0 → α − α = −2  −1 
 1

2 3 4 3 4
∴ [T ( x + 1)] B 2 = − 3 
 α 1 + α 2 = 2 → α 2 = −1  2

 α1 = 3  1 
 2 
−3
1 0 − 3  α3 =
1 1 − 1 

 1 1 − 1
 A12 (−1)
1 − 1 − 2  M 2 − 1 
 0 − 2 − 1 ( )
1 1 −1
 A21 (−1)
2 0 1 1  0 1 1 
2 ⇒ 2
1
     2  2  α4 =
2
 − 2 1 
•  − 1 − 1
 
  B 2
α 1 + α 2 + α 3 + α 4 = −2 → α 3 + α 4 = −1  −1 
 
 α +α +α −α = 1 → α −α = 2  0 
 1

2 3 4 3
α 1 + α 2 = −1 → α 2 = 0
4
[
∴ T ( x 2 − 1) ] B2 = 1 
  2 

 α 1 = −1 − 3 
 2
1
1 0 1  α3 =
1 1 − 1

 1 1 − 1
1 − 1 2  A12 (−1) 0 − 2 3  M 2
  
−1  ( )
1 1 −1 
 A ( −1)
2  0 1 − 3  21
2  ⇒
0 1 − 3 
2
−3
     2  2 α4 =
2
Reemplazando en la matriz:
 1 3 −1 
 
 −3 −1 0 
AT =  5 −3 1 
 2 2 2 
 −3 1 −3 
 2 2 2
Tema 7
Sea T : R 3 → R 3 una transformación lineal, tal que:
1  1   1   0  0 1
           
T 1 =  0  , T  0  =  1  y T  1  =  0 
1  2   1   1  1 1
           
Encuentre la regla de correspondencia de T
Aquí desarrollaremos un procedimiento general para resolver este tipo de ejercicios. Por lo general
los tres vectores que nos dan de datos son linealmente independientes y constituyen una base del
espacio de partida.
Ramiro J. Saltos

19. - 19 -
Seleccionamos un vector típico o representativo del espacio de partida, en este caso R 3 y lo
escribimos como combinación lineal de la base formada. Luego procedemos a expresar los escalares
en términos de las variables que conforman el vector característico, así:
1  1   0 
     
B = 1,  0 ,  1  es una base de R 3
1  1   1 
     
a
 
Sea  b  ∈ R 3
c
 
a 1 1  0   α1 + α 2   α1 + α 2 = a
          
 b  = α 1 1 + α 2  0  + α 3  1  =  α 1 + α 3   α1 + α 3 = b
c 1 1  1  α + α + α  α + α + α = c
         1 2 3  1 2 3
1 1 0 a  1 1 0 a  1 0 1 b  1 0 0 a + b − c
  A12 (−1)   A21 (1)   M 2 ( −1)  
1 0 1 b  0 −1 1 b − a 0 −1 0 b − c  0 1 0 c−b 
1 1 1 c  A13 (−1)  0 0 1 c − a  A32 (−1)  0 0 1 c − a  A31 (−1)  0 0 1 c−a 
       
→ α1 = a + b − c α2 = c − b α3 = c − a
Ahora reescribimos la combinación lineal inicial, sacamos transformación lineal a ambos lados,
reemplazamos los datos y simplificamos
a 1 1 0
       
 b  = α 1 1 + α 2  0  + α 3  1 
c 1 1 1
       
a 1 1  0
       
T  b  = α 1T 1 + α 2T  0  + α 3T  1 
c 1 1 1
       
a 1  0 1
       
T  b  = (a + b − c) 0  + (c − b) 1  + (c − a) 0 
c  2 1 1
       
a  a + b − c   0  c − a a  b 
           
Tb =  0  + c − b +  0  ∴T  b  =  c − b 
 c   2a + 2b − 2c   c − b   c − a   c  a + b
           
Ramiro J. Saltos

20. - 20 -
Tema 8
Sea T : R 2 → R 3 una transformación lineal y suponga que:
 − 1  − 8
1    − 1  
T   =  3  y T   =  − 6
1 2
  1    5 
   
 − 9
Calcule T 
 6 

 
Para calcular lo que nos pide el ejercicio primero debemos hallar la regla de correspondencia de T
Sabemos que:
1  − 1
B =  ,   es una base de R 2
  
1  2 
a
Sea   ∈ R 2
b
 
a 1  − 1  α − α 2 
  = α1   + α 2   =  1
b 1  2   α + 2α  
       1 2
 2a + b  2a + b
1 −1 a  1 0  α1 =
1 − 1 a 

1 −1 a  1  ( )
1 2 b  A12 ( −1) 0 3 b − a  M 2 3  0 1
   b − a  A21 (1)
 0 1
3 
b−a 
→ 3
b−a
     3    α2 =
 3  3
Una vez expresados los escalares en términos de las variables que conforman el vector típico,
sacamos transformación lineal a ambos lados de la combinación lineal, reemplazamos igualdades y
simplificamos
a 1  − 1
T   = α 1T   + α 2T  
b 1 2
     
 − 1  − 8
 a   2a + b    b − a  
T  = 
b  3  +   − 6 
   3  1   3  5 
   
 − 1  − 8
 a   2a + b    b − a  
T  = 
b  3  +   − 6 
   3  1   3  5 
   
 − 2a − b   8a − 8b 
   
 3   3 
a 6a + 3b   6a − 6b 
T  = 
b  +
  3   3 
 2a + b   5b − 5a 
   
 3   3 
 2a − 3b   − 36 
a    − 9  
T   =  4a − b 
b ∴ T   =  − 42 
 6 
   − a + 2b     21 
   
Ramiro J. Saltos

21. - 21 -
Tema 9
Sea T : R 3 → R 2 una transformación lineal y suponga que:
1 0 0
   2     − 1    5 
T 0 =   , T 1 =   y T 0 =  
     
0  3 0  4   1   − 3
     
0
 
Calcule T  1 
5
 
Este ejercicio es muy parecido al anterior, por tanto realizamos los mismos procedimientos para
hallar la respuesta
 1   0   0 
     
Sea B =  0 ,  1 ,  0  una base de R 3
 0   0   1 
     
a
 
Sea  b  ∈ R 3
c
 
a 1  0  0   α1  α1 = a
         
 b  = α1  0  + α 2  1  + α 3  0  = α 2  ⇒ α2 = b
c  0  0  1  α  α3 = c
         3
a 1  0 0
       
T  b  = α 1T  0  + α 2T  1  + α 3T  0 
c 0  0 1
       
a
   2   − 1  5 
T  b  = a  + b  + c 
 3   4   − 3
c      
 
a
   2a − b + 5c 
Tb = 
 

 c   3a + 4b − 3c 
 
 0
   24 
∴T  1  = 
 

 5   − 11
 
Ramiro J. Saltos

22. - 22 -
Tema 10
Sea T : P2 → P2 un operador lineal tal que:
T ( x) = 1
T (1 + x) = 3 + x 2
T (2 − x 2 ) = x − 1
a) Determine una regla de correspondencia para T
b) Respecto al resultado anterior, encuentre Nu (T ), Im(T ),ν (T ), ρ (T )
c) Determine la representación matricial de T respecto a la base canónica de P2
a) Este literal lo resolvemos casi de manera mecánica, tal como los dos ejercicios anteriores
Sea B = { x, x + 1,2 − x 2 } es una base de P2
Sea a + bx + cx 2 ∈ P2
a + bx + cx 2 = α 1 ( x) + α 2 ( x + 1) + α 3 ( 2 − x 2 )
a + bx + cx 2 = (α 2 + 2α 3 ) + (α 1 + α 2 ) x + (−α 3 ) x 2
α 2 + 2α 3 = a

 α1 + α 2 = b
 −α = c
 3
0 1 2 a 1 1 0 b  1 0 − 2 b − a  1 0 0 b − a − 2c 
  P12     A31 ( 2)  
1 1 0 b  0 1 2 a  A21 (−1) 0 1 2 a  0 1 0 a + 2c 
 0 0 − 1 c  M 3 ( −1)  0 0 1 − c  0 0 1 A (−2) 
− c  32 −c 
      0 0 1 
α 1 = − a + b − 2c α 2 = a + 2c α 3 = −c
T ( a + bx + cx 2 ) = α 1T ( x) + α 2T ( x + 1) + α 3T (2 − x 2 )
T ( a + bx + cx 2 ) = (− a + b − 2c )(1) + (a + 2c)(3 + x 2 ) + ( −c)( x − 1)
T ( a + bx + cx 2 ) = (2a + b + 5c) + (−c) x + ( a + 2c) x 2
b)
• Nu (T ) = {cx 2 + bx + a ∈ P2 / T (cx 2 + bx + a) = 0 x 2 + 0 x + 0}
2a + b + 5c = 0 → b = 0

 −c = 0→c = 0 ⇒a=b=c=0
 a + 2c = 0 → a = 0

∴ Nu (T ) = {0 x 2 +0 x + 0} v(T ) = 0
Ramiro J. Saltos

23. - 23 -
Para calcular el recorrido usamos el teorema que dice que si dim V = dim W y si T es inyectiva,
entonces T es sobreyectiva. T es inyectiva porque Nu (T ) = { OV } , por tanto
Re(T ) = P2 ρ (T ) = 3
c) La base canónica de P2 es B = {1, x, x 2 }
 ↑ ↑ ↑ 
 
AT =  [T (1)] B [T ( x)] B [
T (x 2 ) ] B 
 ↓ ↓ ↓ 
 
 2
 
T (1) = 2 + x 2 → (2)(1) + (0)( x ) + (1)( x 2 ) ⇒ [T (1)] B = 0
1
 
1
 
T ( x) = 1 → (1)(1) + (0)( x ) + (0)( x 2 ) ⇒ [T ( x )] B = 0
0
 
5
 
T ( x 2 ) = 5 − x + 2 x 2 → (5)(1) + (−1)( x) + (2)( x 2 ) [
⇒ T (x ) 2
] B =  − 1
2
 
2 1 5 
 
∴ AT =  0 0 − 1
1 0 2 
 
Tema 11
Construya, de ser posible, una transformación lineal T : R 3 → P2 que cumpla con las
siguientes condiciones:
 a  
  
• Nu (T ) =  b  / a = −t , b = t , c = 2t , t ∈ R 
 c  
  
• Im(T ) = {ax 2 + bx + c ∈ P2 / c = a + b}
0 1
   
• T  − 1 = 2 + x + x 2 y T 1 = 1 + x 2
3 1
   
Para resolver este tipo de ejercicios primero debemos encontrar una base y la dimensión tanto del
núcleo como del recorrido de la transformación y verificar si se cumple el teorema de las
dimensiones. Si este no se cumple, entonces no existe una transformación lineal que cumpla las
condiciones que del problema
Ramiro J. Saltos

24. - 24 -
a
 
Sea  b  ∈ Nu (T )
c
 
 a   − t   − 1  − 1
       
 b  =  t  = t 1  → B Nu (T ) =  1  v (T ) = 1
 c   2t   2   2 
       
Sea ax 2 + bx + c ∈ Re(T )
ax 2 + bx + c = ax 2 + bx + (a + b) = a ( x 2 + 1) + b( x + 1)
→ BRe(T ) = { x 2 + 1, x + 1} ρ (T ) = 2
Revisamos el teorema de las dimensiones
v (T ) + ρ (T ) = dim V
1+ 2 = 3
3=3
Y como se cumple debemos proseguir.
Para proseguir debemos conseguir una base del espacio de partida, en este caso R 3 , y la obtenemos
con los dos vectores que nos dan en el problema más el que forma parte de la base del Nu (T ) , así:
1  0   − 1
     
B = 1,  − 1,  1 
1  3   2 
     
Ahora realizamos el mismo procedimiento de siempre que consiste en plantear la combinación
lineal y expresar los escalares en términos de las variables que conforman el vector característico
a
 
Sea  b  ∈ R 3
c
 
a 1 0  − 1  α1 − α 3   α1 − α 3 = a
          
 b  = α 1 1 + α 2  − 1 + α 3  1  =  α 1 − α 2 + α 3   α1 − α 2 + α 3 = b
c 1 3  2   α + 3α + 2α  α + 3α + 2α = c
         1 2 3  1 2 3
1 0 − 1 a  1 0 −1 a  1 0 −1 a 
  A12 ( −1) 
1 − 1 1 b 
A13 (−1) 
 A23 (3) 
0 −1 2 b − a 0 1 − 2
M 2 (−1) 
a−b

 M 3 19 ( )
1 3 2 c 3 c − a 
  0 3   0 0 9 − 4a + 3b + c 
 5a + 3b + c  5a + 3b + c
  1 0 0  α1 =
1 0 −1 a   9  9
0 1 − 2  A31 (1)  0 1 0 a − 3b + 2c  a − 3b + 2c
a −b → α2 =
 − 4a + 3b + c  A32 (2)  9  9
0 0 1   − 4a + 3b + c  − 4a + 3b + c
 9  0 0 1  α3 =
 9  9
Ramiro J. Saltos

25. - 25 -
Luego aplicamos transformación lineal en ambos lados de la combinación y reemplazamos por las
igualdades que obtuvimos y las que nos dan en el ejercicio. Cabe recordar que la transformación
lineal de todo vector que pertenece al núcleo es igual al vector nulo del espacio de llegada
a 1 0  − 1
       
T  b  = α 1T 1 + α 2T  − 1 + α 3T  1 
c 1 3 2
       
a 1 0  − 1
   5a + 3b + c     a − 3b + 2c     − 4a + 3b + c   
Tb =  T 1 +  T  − 1 +  T  1 
c  9     9     9   
  1 3 2
a
   5a + 3b + c  2  a − 3b + 2c  2  − 4a + 3b + c  2
Tb =  ( x + 1) +  ( x + x + 2 ) +  ( 0 x + 0 x + 0 )
c  9   9   9 
 
a
   5a + 3b + c   2a − 6b + 4c   a − 3b + 2c   5a + 3b + c   a − 3b + 2c  2
T  b  =  +  +   x +  +  x
c  9   9   9   9   9 
 
a
   7 a − 3b + 5c   a − 3b + 2c   6a + 3c  2
∴T  b  =  + x +  x
c  9   9   9 
 
Tema 12
Construya, de ser posible, una transformación lineal T : S 2 x 2 → R que cumpla con las
3
siguientes condiciones:
 a b  
• Ker (T ) = 
 b c  ∈ S 2 x 2 / a = c ∧ b + 2c = 0

  
 − 3 1
−1 0   0 2   
• T
 0 2  =  1  y T  2 − 1 =  1 
  
   4    0
   
 x  
  
• Im(T ) =  y  ∈ R / x − y + z = 0
3
 z  
  
Primero debemos hallar las dimensiones tanto del núcleo como del recorrido para verificar si se
cumple el teorema de las dimensiones
a b
Sea 
  ∈ Nu (T )

b c
a b  c − 2c   1 − 2  1 − 2 
 =
 b c   − 2c  = c
− 2 1  ⇒ B Nu (T ) = 
 − 2 1  v (T ) = 1
   c   

 


Ramiro J. Saltos